问题分析：从目前检查的报告单来看，白细胞偏高说明体内还是有炎症，炎症还没有消除。孩子年龄小可能抵抗力相对比较低，因此恢复起来也相对比较慢。
指导建议：建议需要继续消炎抗菌治疗，可以选择敏感型的抗生素进行对症治疗，例如做一个药敏试验，这样可以提高疗效。给孩子多喝温开水，多吃新鲜的蔬菜，多注意休息治疗以后需要复查血常规。
可以考虑使用一些药物进行治疗，另外就是要多喝水，注意休息以及饮食，保持规律性，多吃蔬菜，避免进食刺激性食物，如果是咳嗽的情况持续不见改善，及时就医进行复查。
咳嗽半个月不一定就是肺炎。因为咳嗽半个月的症状还可见于其他的疾病，比如咳嗽变异性哮喘、喘息性支气管炎、嗜酸性粒细胞性肺炎，以及由于慢性鼻炎、鼻窦炎、鼻息肉合并有慢性炎症、腺样体肥大合并慢性鼻炎等，导致鼻后滴流综合征。
肺炎患者之所以会出现有咳嗽的症状，主要原因是肺部黏膜受到炎性分泌物的刺激。而这些炎性分泌物主要是由于病毒、细菌、支原体、衣原体、立克次体入侵，使肺部黏膜出现比较明显的充血、水肿，以及大量炎性分泌物的渗出。炎性分泌物会刺激的肺部黏膜，直到支气管甚至气管黏膜，而引起反射性的咳嗽。
呼吸道隔离和氧疗。呼吸道隔离可避免再感染和交叉感染，氧疗能够改善身体组织缺氧，方法与一般肺炎相同。祛痰，可以使痰液变稀薄，及时排出，否则同样会增加细菌感染机会。
肺炎支原体感染反复咳嗽应该使用消炎药物和化痰止咳的药物医治。肺炎支原体感染可以应用消炎药物医治或者止咳的药物，多饮水，多吃新鲜的蔬果，不吃油腻和刺激性的食物。
